Como aprender a demostrar II

Ya hablamos en el anterior post sobre el pensamiento matemático y las fases que llevaba la resolución de un problema. Sólo nos quedaba por responder cuales eran los pasos para ir resolviendo poco a poco un problema dado.

Fotografía realizada por  Xificurk

Fotografía realizada por Xificurk

George Polya, escribió un libro por llamado “How to Solve It”, donde se nos se platean algunos pasos de cómo abordar un problema. Estos son los siguientes:

Primer paso: Entender el problema                     

Esto parece tan obvio que a menudo ni siquiera se menciona, sin embargo, es muchas ocasiones donde uno se siente bloqueado, simplemente porque no  entiende plenamente, ni siquiera en parte lo que le están pidiendo. Polya propone que nos hagamos las siguientes preguntas:

  • ¿Entiendes todas las palabras que se usan el en problema?
  • ¿Qué te preguntar entre encontrar o mostrar?
  • ¿Puedes reescribir el problema con tus propias palabras?
  • ¿Puedes pensar sobre un dibujo o un diagrama que te ayude a entender mejor el problema?
  • ¿Tienes suficiente información para encontrar la solución?

Segundo paso: Diseña un plan.

Muchas veces hemos visto al profesor resolviendo cuestiones o demostrando cualquier teorema utilizando estrategias o lo que muchas veces llamamos “Ideas Felices”, que creemos imposibles de que se nos ocurra a nosotros mismos. Pero, ¿De dónde sale todas estas estrategias o ideas felices? únicamente de la experiencia de resolver otros problemas.

Polya menciona que hay muchas maneras razonables para resolver los problemas. La habilidad
en la elección de una estrategia apropiada se aprende mejor mediante la resolución de muchos problemas. Es decir, vamos aprendiendo a tener una pequeña caja de herramientas de estrategias y “ideas felices” que nos ayuda a resolver nuevos problemas.

Uno ha de intentar elegir cada vez estrategias más simples y fáciles  a la hora de enfrentarse a los problemas. Una lista parcial de las estrategias se incluye según Polya:

  • Adivina y comprobar: crea pequeñas hipótesis de por dónde van las cosas y comprueba si son ciertas. Ten en confianza en tu intuición y no tengas miedo a equivocarte.
  • Busca un patrón: Cuando estamos probando propiedades que han de cumplir un conjunto de elementos buscar patrones que los relacione puede ser bueno para ayudarte a ir desenmascarando otras nuevas propiedades.
  • Haga una lista ordenada: ¿Cuáles son los conceptos previos conocidos y relacionados con el problema que nos puedan ayudar a enfocarlo mejor? busca definiciones, propiedades, resultados previos, etc. Enuméralos y utilízalos si puedes.
  • Haz un dibujo: la mayoría de veces un dibujo o diagrama nos permite crear la intuición de si nuestras intuiciones sin comprobar se cumplen, además de mostrarnos mejor la estrategia que hemos de seguir.
  • Resolver un problema más sencillo: Resolver problemas particulares del general es fundamental y ayuda a tener más clara las ideas de adonde nos dirigimos y simplifica el entendimiento para construir demostraciones más generales.
  • Utilice un modelo: partir de modelos anteriores puede permitirnos mediante ciertas modificaciones resolver nuestros problemas.
  • Considere la posibilidad de casos especiales: ¿Y si simplificamos el problema para entenderlo mejor? A veces podemos exigir que se cumplen propiedades a priori no mencionadas en el enunciado para simplificar nuestras opciones y poder entender mejor el problema. Esta estrategia es muy parecida a la de resolver casos particulares.
  • Trabajar hacia atrás: se trata de asumir que la solución está dada y se trata de ir trabajando hacia atrás hasta encontrarse con algo ya conocido que sepamos verdadero.
  • Utilizar el razonamiento directo: Aquí se trata de justo lo contrario que en el caso anterior, coger todas las herramientas, axiomas, teoremas ya probados y lanzarnos a la piscina.
  • Ser ingenioso: aquí es donde entran aquellas “ideas felices“ ya mencionadas anteriormente, se trata de ser creativo no tener miedo a crear nuestras propias ideas ingeniosas. A veces las cosas que nos parecen algo absurdas se convierten en la clave de conseguir nuestros objetivos.

Tercer paso: Lleva a cabo tu plan

Este paso suele ser más fácil que la elaboración del plan .En general, todo lo que necesita es cuidado y paciencia, puesto que uno tiene las habilidades necesarias. Sólo hemos de persistir con el plan que hemos elegido. Si con él no conseguimos resolver el problema se trata de descartarlo, elegir otro y seguir trabajando. No os engañéis hasta cualquier matemático con experiencia se encuentra con estas fases a la hora de abarcar un problema.

Cuarto paso: Mira hacia atrás

Polya menciona que se puede ganar mucho si nos tomamos el tiempo para volver y buscar hacia atrás en lo que hemos hecho, lo que funcionó y lo que no. Hacer esto le permitirá a predecir qué estrategia utilizar para resolver problemas en un futuro.

Post realizado por Thais Ávila Valverde

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